1974 yılında Sivas’ın Gürün ilçesi doğumlu Abdullah Küçük, ilk ve orta öğrenimini Malatya'da tamamladı. Yükseköğrenimini Ankara Üniversitesi Siyasal Bilgiler Fakültesi Kamu Yönetimi Bölümü’nde tamamlayan Küçük, 1996 yılında mezun oldu.
Meslek hayatına 1998 yılında kaymakam adayı olarak başlayan Küçük, Türkiye’nin farklı illerinde birçok görevde bulundu. Ordu’nun Kabataş ve Perşembe ilçeleri, Erzurum’un Karayazı ilçesi, Trabzon’un Arsin ilçesi, Kırşehir’in Kaman ilçesi ve Niğde’nin Bor ilçesinde kaymakamlık yaptı.
Kaymakamlık görevlerinin ardından Ankara Vali Yardımcılığı ve Sincan Kaymakamlığı görevlerinde bulunan Küçük, son olarak İstanbul Güngören Kaymakamı olarak görev yapıyordu.
